Question

20．如图，抛物线y=a（x-$\sqrt{2}$m）²-m（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m）．点A关于直线l的对称点为B，作BC⊥x轴于点C，连接PC、PB，与抛物线、x轴分别相交于点D、E，连接DE．将△PBC沿直线PB翻折，得到△PBC′．
（1）该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$；（用含m的式子表示）；
（2）探究线段DE、BC的关系，并证明你的结论；
（3）直接写出C′点的坐标（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值；
（2）根据抛物线的解析式，求出顶点P的坐标，根据对称轴，求出点B，C的坐标，根据待定系数法求出直线BP、CP的解析式，求出点D、E的坐标，进而求出DE，BC的长度，即可解得；
（3）连接CC′交直线BP于点F，则CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，进而求得点F的坐标，根据CF=C′F，即可解答．

解答 解：（1）把点A（0，m）代入y=$a（x-2\sqrt{2}m）^{2}-m$，
得：2am²-m=m，
am-1=0，
∵am＞1，
∴a=$\frac{1}{m}$，
∴y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$，
故答案为：y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$；
（2）DE=$\frac{1}{2}$BC．
理由：又抛物线y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$，可得抛物线的顶点坐标P（$\sqrt{2}$m，-m），
由l：x=$\sqrt{2}$m，可得：点B（2$\sqrt{2}$m，m），
∴点C（2$\sqrt{2}$m，0）．
设直线BP的解析式为y=kx+b，点P（$\sqrt{2}$m，-m）和点B（2$\sqrt{2}$m，m）在这条直线上，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}mk+b=-m}\\{2\sqrt{2}mk+b=m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-3m}\end{array}\right.$，
∴直线BP的解析式为：y=$\sqrt{2}$x-3m，
令y=0，$\sqrt{2}$x-3m=0，解得：x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，
∴点D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，0）；
设直线CP的解析式为y=k₁x+b₁，点P（$\sqrt{2}$m，-m）和点C（2$\sqrt{2}$m，0）在这条直线上，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}m{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{\sqrt{2}m{k}_{1}+{b}_{1}=-m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{b}_{1}=-2m}\end{array}\right.$，
∴直线CP的解析式为：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2m；
抛物线与直线CP相交于点E，可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}（x-2m）^{2}-m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x-2m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}m}\\{{y}_{1}=-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{2}m}\\{{y}_{2}=-m}\end{array}\right.$（舍去），
∴点E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，-$\frac{m}{2}$）；
∵x_D=x_E，
∴DE⊥x轴，
∴DE=y_D-y_E=$\frac{m}{2}$，BC=y_B-y_C=m=2DE，
即DE=$\frac{1}{2}$BC；
（3）C′（$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{2}{3}m$）．
连接CC′，交直线BP于点F，
∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，
∴CC′⊥BP，CF=C′F，
设直线BP的解析式为y=kx+b，点B（2$\sqrt{2}$m，m），P（$\sqrt{2}$m，-m）在直线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}mk+b=m}\\{\sqrt{2}mk+b=-m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-3m}\end{array}\right.$，
∴直线BP的解析式为：y=$\sqrt{2}$x-3m，
∵CC′⊥BP，
∴设直线CC′的解析式为：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$x+b₁，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}m+{b}_{1}=0$，解得：b₁=2m，
联立①②，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x-3m}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5\sqrt{2}}{3}m}\\{y=\frac{m}{3}}\end{array}\right.$，
∴点F（$\frac{5\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{m}{3}$），
∴CF=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{3}m-2\sqrt{2}m）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
设点C′的坐标为（a，$-\frac{\sqrt{2}}{2}a+2m$），
∴C′F=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{3}m-a）^{2}+（\frac{m}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}a-2m）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，解得：a=$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}a+2m=\frac{2}{3}m$，
∴C′（$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{2}{3}m$）．

点评 本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，能够熟练求出直线的解析式和各点的坐标是解决此题的关键．