Question

【题目】已知△ABC与△ABD不全等，且AC=AD=1，∠ABD=∠ABC=45°，∠ACB=60°，则CD=　 　．

Answer 1

【答案】1或．

【解析】分析：

由题意可知本题存在两种可能情况：（1）如图1，C、D两点在线段AB的同侧，此时由已知条件易证△ACD是等边三角形，由此即可求得CD的长；（2）如图2，C、D两点在线段AB的两侧，此时由已知条件可知将△ABD沿AB翻折，点D的对应点D′刚好落在BC边上，连接CD，由已知条件可证得∠CAD=90°，从而可在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的长.

详解：

（1）如图1，当C、D在AB同侧时，

∵AC=AD=1，∠C=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD=AC=1；

（2）如图2，当C、D在AB两侧时，

∵∠ABC=∠ABD=45°，

∴把△ABD沿AB翻折得到△ABD′时，点D′在BC边上，

由（1）可知，此时△ACD′是等边三角形，

∴∠AD′C=60°，

∴∠AD′B=120°，

∴∠ADB=120°，

又∵在四边形ADBC中，∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC+∠ABD=90°，

∴∠CAD=360°-60°-120°-90°=90°，

∴在Rt△ACD中，CD=.

综上所述可得CD的长为1或．

故答案为：1或．