Question

【题目】如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫作△ABC的费马点．

(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.

①求证： △ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，求PB的长；

(2)如图②，已知锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于点P，连接AP.

①求∠CPD的度数；

②求证：点P为△ABC的费马点．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）60° （3）见解析

(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP

②解：由①可知△ABP∽△BCP，∴ ，∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2.

(2)①解：如图，∵△ABE和△ACD是正三角形，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，∴∠EAC＝∠BAD，∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.

②证明：由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△ADF∽△PCF，∴AF∶PF＝DF∶CF，∴AF∶DF＝PF∶CF.∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC，∴∠APF＝∠ACD＝60°.由①可知∠CPD＝60°，∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴点P为△ABC的费马点．

【解析】试题分析： ①由费马点的定义可知∠APB＝∠BPC＝120°，然后再证明∠PAB＝∠PBC即可证明△ABP∽△BCP ②由①可知△ABP∽△BCP，得到，即可求出的长.
如图所示：①首先证明△ACE≌△ADB，则∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5＝60°.

②由∠CPD＝60°.可证明∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，然后证明△ADF∽△PCF，由相似三角形的性质和判定定理再证明△AFP∽△DFC，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，接下来可求得∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°,即可说明.

试题解析：

(1)①∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP

②由①可知△ABP∽△BCP，

∴

∴PB2＝PA·PC＝12，

(2)①如图，∵△ABE和△ACD是正三角形，

∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.

∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，

∴∠EAC＝∠BAD，

∴△ACE≌△ADB，

∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠5＝60°.

②由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴△ADF∽△PCF，

∴AF∶PF＝DF∶CF，

∴AF∶DF＝PF∶CF.

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△DFC，

∴∠APF＝∠ACD＝60°.

由①可知∠CPD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，

∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，

∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，

∴点P为△ABC的费马点．