Question

已知正数k是4和9的比例中项，
（1）求k的值；
（2）求证：关于x的方程x²-kx-k=0必定有两个不等实数根；
（3）求证：方程的两根必定是一正一负．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,比例线段

专题：

分析：（1）根据比例中项的概念，得k²=4×9，则k可求出来．
（2）先计算判别式得到b²-4ac=60＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（3）利用根与系数的关系：x₁•x₂=

c

a

，即可判定．

解答：（1）解：∵正数k是4和9的比例中项，
∴k²=4×9=36，
∴k=6；

（2）证明：∵k=6，
∴关于x的方程为x²-6x-6=0，
∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-6）=60＞0，
∴关于x的方程x²-kx-k=0必定有两个不等实数根；

（3）证明：∵x₁•x₂=-k＜0，
∴方程的两根必定是一正一负．

点评：本题考查了比例中项的概念，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．