Question

【题目】设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，2)，B（﹣，﹣1），C(，﹣1).

（1）已知点D（2，2），E（，1），F（，﹣1）.在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是 ；

（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°.

①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；

②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）

（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为.当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒.是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）E,F;（2）①0≤m≤，②﹣ ≤b≤2；（3）存在，t=

【解析】试题解析：（1）根据等边三角形的中心关联点的定义，可得 点E、F 是等边三角形的中心关联点；

（2）①依题意A（0，2），M（，0）可求得直线AM的解析式为，所以△OAE为等边三角形，所以AE边上的高长为.当点P在AE上时， ≤OP≤2.所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点.所以0≤m≤;

②同①得﹣≤b≤2;

（3）t=

解：（1）E,F;

（2）①解：依题意A（0，2），M（，0）.

可求得直线AM的解析式为.

经验证E在直线AM上.

因为OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE为等边三角形，

所以AE边上的高长为.

当点P在AE上时， ≤OP≤2.

所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点.

所以0≤m≤;

②﹣≤b≤2;

（3）t=