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【题目】(1)探究证明:

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于点D,BEMN于点E,当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE;

(2)发现探究:

当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立,如果不成立,DE、AD、BE应满足的关系是_____

(3)解决问题:

当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,若BE=8,AD=2,请直接写出DE的长为_____

【答案】(1)证明见解析;(2)DE+BE=AD;(3)6.

【解析】试题分析:(1)由垂直得∠ADC=∠BEC=90°,由同角的余角相等得:∠DAC=∠BCE因此根据AAS可以证明)△ADC≌△CEB结合全等三角形的对应边相等证得结论

(2)根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD

(3)先同(2)的方法得出DE=BE-AD代值即可得出结论.

试题解析证明:(1)如图1.∵ADMNBEMN,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠BCE.在ADCCEB中,∵ADC=∠BEC,∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB

DC=BEAD=EC.∵DE=DC+EC,∴DE=BE+AD

(2)解:(1)中结论不成立结论为DE+BE=AD.理由如下

如图2.∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.

ADMN于点D,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BCE

ADCCEB中,∵ADC=∠BEC,∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB

CD=BEAD=CE,∴DE+BE=DE+CD=EC=ADDE+BE=AD

故答案为:DE+BE=AD

(3)解如图3,同(2)的方法得,△ADC≌△CEB,∴AD=CEDC=BE,∴DE=CDCE=BEAD.∵BE=8,AD=2,∴DE=8﹣2=6.故答案为:6.

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