Question

【题目】如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式的解集．

（2）在x轴上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．

（3）连接OB，求三角形AOB的面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝ ，1≤x≤4或x＜0；（2）P点坐标为（5，0）；（3）

【解析】

（1）利用△AOM面积求得k的值，然后联立方程组 ，解此方程组，求得A、B两点坐标，利用图像，求得不等式解集；

（2）一次函数y＝﹣ x+ 的图象与x轴的交点即为P点，此时|PA﹣PB|的值最大，最大值为AB的长；

（3）求出一次函数与x轴交点坐标P,利用S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP求解.

（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，

∴|k|＝1，

∵k＞0，

∴k＝2，

故反比例函数的解析式为：y＝ ，

由，解得 或 ，

∴A（1，2），B（4， ），

由图像可知不等式 ≤ 的解集为1≤x≤4或x＜0；

（2）一次函数y＝的图象与x轴的交点即为P点，此时|PA﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．

∵A（1，2），B（4，），利用勾股定理可得

∴AB＝ ，

∴|PA﹣PB|的最大值为 ；

∵一次函数y＝﹣ x+，

令y＝0，则﹣ x+＝0，解得x＝5，

∴P点坐标为（5，0）；

（3）∵P（5，0），

∴OP＝5，

∴S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝ ×5×2﹣ ＝ ．