Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD＝3

（1）求证：直线CE是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接BD．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（3）设BD=，AD=2k，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：连接OD，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）连接BD．

∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，

∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴CD2=CBCA，

∴（3）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA-BC=3，

∴⊙O的半径=；

（3）∵，设BD=，AD=2k，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=9，

∴k=，

∴AD=．