Question

【题目】如图，在中，是直径，是切线，点为切点．

（1）求证：；

（2）如图，连接交于点，连接并延长，交于点，求证：；

（3）如图，延长交于点连接过点作，交的延长线于点．若 求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用全等的性质证得∠BOD=90，再证得Rt△BOERt△ODE，再利用等量代换即可证明结论；

（2）证得，利用平行线分线段成比例定理结合等量代换即可证明结论；

（3）在中，利用勾股定理求得PC的长，求得 ，推出和，求得，再推出，在和中，利用余弦函数即可求解．

（1）证明：如图，连接OB、OE、OD．

∵AB、BD、CD是的切线，

∴BA=BE，∠BEO=∠BAO=90，DC=DE，

在Rt△BEO和Rt△BAO中，

，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴Rt△BOERt△ODE，

∴，

∴，

∵

∴；

（2）证明：∵AB、CD是的切线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∵，

∴，

∴；

（3）解：∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中， ，

∴①，

∵，

∴②，

联立①②并解得：

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．