Question

如图，以△ABC的三边为边在BC同一侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF．
（1）猜想四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足条件

 

时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足条件

 

时，四边形ADEF是菱形；
（4）当△ABC满足条件

 

时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；
（2）当四边形ADEF有一个角是90°，即∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，依据矩形的定义判断；
（3）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形；
（4）当AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．

解答：解：（1）四边形ADEF是个平行四边形，
在△ABC和△DBE中，

BC=BE ∠ABC=∠DBE BA=BD

，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，

BC=EC ∠ACB=∠FCE CA=CF

∴△ABC≌△FEC（SAS），
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；

（2）当∠BAC=150°时，∠DAF=90°，此时四边形ADEF是矩形；

（3）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（4）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评：本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质．