Question

如图，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．
方法（一）：
方法（二）：

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：方法一：过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△AFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AF，再求出△CEF是等腰直角三角形，然后得到EF=CF，最后根据AF+CF=AC等量代换即可得证；
方法二：延长AB到H，使BH=BE，从而得到△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠H=45°，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB=45°，从而得到∠ACB=∠H，再根据角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE，然后利用“角角边”证明△AHE和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AC，再根据AB+BH=AH等量代换即可得证．

解答：证明：方法一：如图1，过点E作EF⊥AC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴BE=EF，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，

AE=AE BE=EF

，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AB=AF，
∵EF⊥AC，∠ACB=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF，
∵AF+CF=AC，
∴AB+BE=AC；
方法二：如图2，延长AB到H，使BH=BE，
所以，△BHE是等腰直角三角形，
所以，∠H=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠H，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
在△AHE和△ACE中，

∠BAE=∠CAE ∠ACB=∠H AE=AE

，
∴△AHE≌△ACE（AAS），
∴AH=AC，
∵AB+BH=AH，
∴AB+BE=AC．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作出辅助线是解题的关键．