Question

如图，边长为2正方形ABCD中，BD为对角线，AE∥BD，且DE=DB，DE与AB交于F点，则EF=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质求出∠DAE=135°，DE=2

2

，借助余弦定理求出AE的长度；利用相似三角形的性质求出EF的长度．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠DAB=90°，∠ABD=45°；
又∵AE∥BD，
∴∠BAE=∠ABD=45°，
∴∠DAE=135°；
由勾股定理得：BD=

22+22

=

8

=2

2

；
故DE=BD=2

2

；
设AE=x，由余弦定理得：
(2

2

)2=22+x2-2×2xcos135°，
整理得：x2+2

2

x-4=0，
解得x=

6

-

2

或-

6

-

2

（不合题意，舍去）；
设EF=y，则AF=2

2

-x\；
∵AE∥DB，
∴△AEF∽△BDF，
∴

AE

BD

=

EF

DF

，即

6 - 2

2 2

=

y

2 2 -y

，
解得y=4

2

-2

6

．
故所求的答案为4

2

-2

6

．

点评：考查了正方形的性质、相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是首先借助余弦定理求出AE的长度，然后利用相似三角形的性质求出EF的长度；对综合运用能力提出了较高的要求．