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【题目】如图,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦.AB与CD交于点M,将 沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使AP=OA,连接PC

(1)求CD的长;
(2)求证:PC是⊙O的切线;
(3)点G为 的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交 于点F(F与B、C不重合).问GEGF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.

【答案】
(1)解:如图,连接OC,

沿CD翻折后,点A与圆心O重合,

∴OM= OA= ×2=1,CD⊥OA,

∵OC=2,

∴CD=2CM=2 =2 =2


(2)证明:∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= CD= ,∠CMP=∠OMC=90°,

∴PC= = =2

∵OC=2,PO=2+2=4,

∴PC2+OC2=(2 2+22=16=PO2

∴∠PCO=90°,

∴PC是⊙O的切线


(3)解:GEGF是定值,证明如下,

连接GO并延长,交⊙O于点H,连接HF

∵点G为 的中点

∴∠GOE=90°,

∵∠HFG=90°,且∠OGE=∠FGH

∴△OGE∽△FGH

=

∴GEGF=OGGH=2×4=8.


【解析】(1)利用翻折性质可得出AM=MO=半径的一半,运用勾股定理可求出;(2)连OC,证垂直,可利用勾股定理逆定理,得出∠PCO=90°,即得切线;(3)利用△OGE∽△FGH把GEGF转化为OGGH=8定值.

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(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

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