【题目】如图,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦.AB与CD交于点M,将 沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使AP=OA,连接PC
(1)求CD的长;
(2)求证:PC是⊙O的切线;
(3)点G为 的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交 于点F(F与B、C不重合).问GEGF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.
【答案】
(1)解:如图,连接OC,
∵ 沿CD翻折后,点A与圆心O重合,
∴OM= OA= ×2=1,CD⊥OA,
∵OC=2,
∴CD=2CM=2 =2 =2
(2)证明:∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= CD= ,∠CMP=∠OMC=90°,
∴PC= = =2 ,
∵OC=2,PO=2+2=4,
∴PC2+OC2=(2 )2+22=16=PO2,
∴∠PCO=90°,
∴PC是⊙O的切线
(3)解:GEGF是定值,证明如下,
连接GO并延长,交⊙O于点H,连接HF
∵点G为 的中点
∴∠GOE=90°,
∵∠HFG=90°,且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴ =
∴GEGF=OGGH=2×4=8.
【解析】(1)利用翻折性质可得出AM=MO=半径的一半,运用勾股定理可求出;(2)连OC,证垂直,可利用勾股定理逆定理,得出∠PCO=90°,即得切线;(3)利用△OGE∽△FGH把GEGF转化为OGGH=8定值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
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【题目】动手操作:
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
问题解决:
(1)若∠ACD=78°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证:△CAN≌△CMN.
实验探究:
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.
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【题目】如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OB=OD,BF=DE,AE∥CF.
(1)求证:△OAE≌△OCF;
(2)若OA=OD,猜想:四边形ABCD的形状,请证明你的结论.
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【题目】今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行,将测试完进行换算统分改为计算机自动生成,现场公布成绩,降低了误差,提高了透明度,保证了公平.考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况(每人限选一项),对全市部分初三男生进行了调查,将调查结果分成五类:A、实心球(2kg);B、立定跳远;C、50米跑;D、半场运球;E、其它.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)将上面的条形统计图补充完整;
(2)假定全市初三毕业学生中有5500名男生,试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人?
(3)甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目:B、立定跳远;C、50米跑;D、半场运球中各选一项,同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少?请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果.
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【题目】如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(6,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,点C是线段AB上的一点,分别以AC.BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG,连接EG.BG.BE,当BC=1时,△BEG的面积记为S1,当BC=2时,△BEG的面积记为S2,……,以此类推,当BC=n时,△BEG的面积记为Sn,则S2020-S2019的值为____.
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