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【题目】如图,在中,DAB上的点,过点DBC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,则下列结论正确的有( )

DCB=B;②CD=AB;③ADC是等边三角形;④若E=30°,则DE=EF+CF

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】

由在△ABCACB=90°,DEAB根据等角的余角相等可得①∠DCB=B正确

由①可证得AD=BD=CD即可得②CD=AB正确

易得③△ADC是等腰三角形但不能证得△ADC是等边三角形

由若∠E=30°,易求得∠FDC=FCD=30°,则可证得DF=CF继而证得DE=EF+CF

在△ABC中,∵∠ACB=90°,DEAB∴∠ADE=ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,ACD+∠DCB=90°.

∵∠DCA=DACAD=CDDCB=B故①正确

CD=BD

AD=BDCD=AB故②正确

DCA=DACAD=CD但不能判定△ADC是等边三角形故③错误

∵∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形∴∠ADC=30°.

∵∠ADE=ACB=90°,∴∠EDC=BCD=B=30°,CF=DFDE=EF+DF=EF+CF.故④正确

故选B.

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(3)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C,F不重合),并说明理由.

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A.①②
B.②③
C.②④
D.①③④

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