【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣ ),( )是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③④
【答案】C
【解析】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴b=﹣2a>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵b=﹣2a,
∴2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,所以③错误;
∵点(﹣ )到对称轴的距离比点( )对称轴的距离远,
∴y1<y2 , 所以④正确.
故选C.
由抛物线开口方向得到a<0,有对称轴方程得到b=﹣2a>0,由∵抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;由b=﹣2a可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=2时,y>0,于是可对③进行判断;通过比较点(﹣ )与点( )到对称轴的距离可对④进行判断.
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【题目】数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形中,,求的度数.(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度数.(答案:或或)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形中,,求的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,的度数不同,得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中,设,当有三个不同的度数时,请你探索的取值范围.
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【题目】如图,在中,,D是AB上的点,过点D作交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,,则下列结论正确的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,该抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),请回答以下问题.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点坐标;
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为;
(3)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是 .
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= .对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
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【题目】(1)如图①,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)请直接写出y与x的函数关系式;
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(0,2)两点,将△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B′,点A落到点A′的位置.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)将抛物线沿y轴平移后经过点A′,求平移后所得抛物线对应的函数关系式;
(3)设(2)中平移后所得抛物线与y轴的交点为C,若点P在平移后的抛物线上,且满足△OCP的面积是△O′A′P面积的2倍,求点P的坐标;
(4)设(2)中平移后所得抛物线与y轴的交点为C,与x轴的交点为D,点M在x轴上,点N在平移后所得抛物线上,直接写出以点C,D,M,N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形时点N的坐标.
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