Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴的交点为A，抛物线的顶点为B（1，﹣3）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）点P为x轴上一点，当三角形PAB的周长最小时，求出点P的坐标；

（3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为C，两抛物线的交点为D，当O，C，D在一条直线上时，请直接写出平移的距离．

Answer 1

【答案】(1) y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2 (2) P（，0） (3) 平移距离为2或3

【解析】

（1）根据题意可得点A的坐标为（0，﹣2），根据顶点坐标为（1，﹣3），可得设抛物线解析式y=a（x﹣1）2﹣3把A点的坐标代入求得a值，即可得抛物线的解析式；（2）当PA+PB最小时，△ABP的周长最小，作A点关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'B，用待定系数法求得直线A'B的解析式，直线A'B与x轴的交点坐标即为点P的坐标；（3）设抛物线向右平移m个单位，得到新的抛物线的顶点C（1+m，-3），由此可得新抛物线的解析式，把两个抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组求得点D的坐标，再求得直线OC的解析式，因O、C、D三点共线，可得以m为未知数的方程，解方程求得m的值即可.

（1）根据题意得：A（0，﹣2），

设抛物线解析式y=a（x﹣1）2﹣3过点A（0，﹣2），

∴﹣2=a﹣3，

∴a=1，

∴抛物线解析式y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2；

（2）∵A（0，﹣2），B（1，﹣3），

∴AB=，

∵△ABP的周长=PA+PB+AB=PA+PB+，

∴当PA+PB最小时，△ABP的周长最小;

作A点关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'B,

设直线A'B解析式y=kx+b,

根据题意得：,

解得：k=﹣5，b=2

∴直线A'B的解析式y=﹣5x+2；

当y=0时，x=，

∴P（，0）；

（3）设向右平移m个单位长度，则所得新的抛物线的顶点C（1+m，-3），

∴平移后抛物线解析式y=（x﹣1﹣m）2﹣3，

∴C（1+m，﹣3），

∴根据题意可得，

∴，

∴D（1+，）；

∵C（1+m，﹣3，），O（0，0），

∴直线CO解析式y=x，

∵O，C，D三点共线，

∴=，

解得：m1=0（不合题意舍去），m2=﹣3，m3=2；

∴向右平移2个单位长度，或向左平移3个单位长度，O，C，D三点共线．

∴平移距离为2或3.