Question

18．如图，圆心角为120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）证明：△AOH≌△COK；
（2）若AB=6，求正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正六边形的性质得出△OBC，△OAB都是等边三角形，进而得出AO=CO，∠AOH=∠COK，∠OAH=∠OCK=60°，即可得出全等三角形；
（2）过点O作OG⊥BC于点G，利用全等三角形的性质以及正六边形性质得出正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC进而得出答案．

解答 （1）证明：∵圆心角120°的扇形OMN，绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
∴△OBC，△OAB都是等边三角形，
∴AO=CO，∠AOH=∠COK，∠OAH=∠OCK=60°，
在△AOH和△COK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOH=∠COK}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠OAH=∠OCK}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△COK（ASA）；
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示：
∵△OBC是等边三角形，
∴BG=CG=3，CO=6，
∴OG=3$\sqrt{3}$，
∵△AOH≌△COK，
∴S_△AOH=S_△COK，
∴正六边形ABCDEF与扇形OMN重叠部分的面积为：
S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC=2×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．