Question

8．定义：对于抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b²=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x²-2x+2是黄金抛物线．
（1）将y=2x²-2x+2先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后的新抛物线的解析式为y=2x²+2x-1；
（2）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式y=2x²+2x+2；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）．

Answer 1

分析 （1）先利用配方法得到y=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，则抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），再利用点平移的规律得到点（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）平移后的对应点的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），于是利用顶点式可写出平移后的新抛物线的解析式；
（2）根据黄金抛物线写出的二次函数各项的系数满足b²=ac即可；
（3）由于△=b²-4ac，而b²=ac时，则△=-4ac，利用△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行讨论：当c=0时，△=0，该黄金抛物线与x轴只有一个公共点；当c≠0时，由于a、c同号，则△＜0，则可判断该黄金抛物线与x轴没有公共点．

解答 解：（1）y=2x²-2x+2=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，则抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
把点（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）先向下平移3个单位，再向左平移2个单位得到点（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
所以平移后的新抛物线的解析式为y=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，即y=2x²+2x-1；
（2）抛物线y=2x²+2x+2是黄金抛物线；
（3）△=b²-4ac，
因为b²=ac时，
所以△=ac-4ac=-4ac，
当c=0时，△=0，该黄金抛物线与x轴只有一个公共点，即原点；
当c≠0时，而a、c同号，则△＜0，所以该黄金抛物线与x轴没有公共点．
故答案为y=2x²+2x-1；y=2x²+2x+2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了抛物线的几何变换．