Question

3．在平面直角坐标系中，△ACO为等腰直角三角形，AC=OC，C（-1，3）．
（1）如图1，求点A的坐标及OA的长；
（2）如图2，过C作CN⊥y轴于N，M为OA的中点，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）过C作BD∥x轴，过A作BD垂线交BD于点B，易证△ABC≌△COD，可得点A的坐标；
（2）根据题意可以求出点N，M坐标，即可求得MN的长度．

解答 解：（1）如图1，过C作BD∥x轴，过A作BD垂线交BD于点B，
∵∠BCA+∠BAC=90°，∠DCO+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠DCO，
∵等腰直角△ACO中AC=CO．
在△ABC和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ODC=90°}\\{∠BAC=∠DCO}\\{AC=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△COD，（AAS）
∴BC=OD，AB=CD，
∴点A的坐标为（-4，2），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）∵点A的坐标为（-4，2），M为AO的中点，
∴M点坐标为（-2，1），
∵CN⊥y轴，
∴N点坐标为（0，3），
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中点与点的距离的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．