Question

5．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，DE与AB相交于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G．若EF=5，CD=2$\sqrt{2}$，则△BDG的面积为96．

Answer 1

分析 过点E作EH⊥AC，垂足为H，连接AE．先依据AAS证明△BCD≌△DHE，从而得到BC=DH，CD=EH=2$\sqrt{2}$，由等腰直角三角形的性质可知BC=CA，从而可证明AH=EH=2$\sqrt{2}$，由勾股定理可知AE=4．在△EFA中由勾股定理可求得AF=3，由∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA可知△BDF∽△EFA，设DF=x，则BD=DE=x+5由相似三角形的性质可知：$\frac{x+5}{x}=\frac{4}{3}$．解得：x=15．故此DF=15，BD=20，从而可求得BG=$\frac{4}{5}$BD=16，DG=$\frac{3}{5}BD$=12，最后依据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：过点E作EH⊥AC，垂足为H，连接AE．

∵∠BDE=90°，
∴∠BDC+∠EDH=90°．
又∵∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠EDH．
在△BCD和△DHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠EDH}\\{∠BCD=∠DHE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△DHE．
∴BC=DH，CD=EH=2$\sqrt{2}$．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=CA．
∴AC=DH．
∴DC=AH=2$\sqrt{2}$．
∴AH=EH=2$\sqrt{2}$．
∴AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=4．
∵∠BAC=45°，∠EAH=45°，
∴∠FAE=90°．
∴AF=$\sqrt{E{F}^{2}-A{E}^{2}}$=3．
∵∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA，
∴△BDF∽△EFA．
∴$\frac{DB}{DF}=\frac{AE}{AF}=\frac{4}{3}$．
设DF=x，则BD=DE=x+5．
∴$\frac{x+5}{x}=\frac{4}{3}$．
解得：x=15．
∴DF=15，BD=20．
∴BG=$\frac{4}{5}$BD=16，DG=$\frac{3}{5}BD$=12．
∴${S}_{△BDG}=\frac{1}{2}BG•DG$=$\frac{1}{2}×16×12$=96．
故答案为；96．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，证得△BDF∽△EFA，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，从而求得BD的长是解题的关键．