Question

1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°．点D，E分别为腰的中点，以DE长为直径作圆，圆心为O．请判断⊙O和底边AB是否相切，并说明理由．

Answer 1

分析 连接CO并延长CO与AB相交于点H，连接DH，EH，利用等腰三角形的性质和中位线的性质证得CH⊥AB，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=DH=CE=EH，证得四边形CDHE是正方形，由正方形的性质易得DE=CH，可得CH是该圆的直径，证得结论．

解答 解：相切，
连接CO并延长CO与AB相交于点H，连接DH，EH，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AD=CD=$\frac{1}{2}AC$，CE=BE=$\frac{1}{2}BC$，
∴CD=CE，DE∥AB，
∵DO=EO，
∴CO⊥DE，
∵DE∥AB，
∴CH⊥AB，
∴DH=CD=$\frac{1}{2}AC$，EH=CE=$\frac{1}{2}BC$，
∴CD=DH=CE=EH，
∵∠DCE=90°，
∴四边形CDHE是正方形，
∴DE=CH，即CH是该圆的直径，
∵CH⊥AB，
∴AB与⊙O相切．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和中位线的性质，直角三角形的性质及切线的判定，利用切线的判定方法，“无交点，作垂线段，证半径”是解答此题的关键．