Question

15．如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，B，C，已知点A（-1，0），点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-x²+bx+c经过点A，B，C，已知点A（-1，0），点C（0，3），可以求得抛物线的表达式；
（2）根据函数的解析式可以求得点B的坐标，从而可以求得直线BC的解析式，设出点P、D的坐标从而可以表示出△BDC的面积，从而可以得到点P的坐标；
（3）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况，从而可以分别求得点E、F的坐标．

解答 解：（1）∵点A（-1，0），点C（0，3）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得b=2，c=3．
即抛物线的表达式是y=-x²+2x+3；
（2）令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∵点A（-1，0），
∴点B的坐标为（3，0）．
设过点B、C的直线的解析式为：y=kx+b
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=3．
∴过点B、C的直线的解析式为：y=-x+3．
设点P的坐标为（a，-a+3），则点D的坐标为（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（-a+3）=-a²+3a．
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}PD•a+\frac{1}{2}PD•（3-a）$
=$\frac{1}{2}（-{a}^{2}+3a）•a+\frac{1}{2}（-{a}^{2}+3a）•（3-a）$
=$-\frac{3}{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{27}{8}$．
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BDC的面积最大，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$）．
（3）存在．
当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或-3，
∵E是抛物线上的一点，
∴将y=3代入y=-x²+2x+3，得x₁=0（舍去），x₂=2；
将y=-3代入y=-x²+2x+3，得${x}_{3}=1+\sqrt{7，}{x}_{4}=1-\sqrt{7}$．
∴${E}_{1}（2，3），{E}_{2}（1+\sqrt{7，-3}），{E}_{3}（1-\sqrt{7}，-3）$．
则点${F}_{1}{（1，0），F}_{2}（2+\sqrt{7，0}）{F}_{3}（2-\sqrt{7}，0）$．
当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，
∵E是抛物线上的一点，
∴将y=3代入y=-x²+2x+3，得x₁=0（舍去），x₂=2；
即点E₄（2，3）．
则F₄（-3，0）．
由上可得，点E的坐标为：${E}_{1}（2，3），{E}_{2}（1+\sqrt{7，-3}），{E}_{3}（1-\sqrt{7}，-3）$，E₄（2，3），
与之对应的点F的坐标是：${F}_{1}{（1，0），F}_{2}（2+\sqrt{7，0}）{F}_{3}（2-\sqrt{7}，0）$，F₄（-3，0）．

点评 本题考查二次函数综合题，解题的关键是根据题意找出其中的相关联的量，利用分类讨论的数学思想解答各个问题．