【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.
⑴求证:AE是⊙O的切线;
⑵若AE=4cm,CD=6cm,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=2.
【解析】
(1)根据等边对等角得出∠ODA=∠OAD,进而得出∠OAD=∠EDA,证得EC∥OA,从而证得AE⊥OA,即可证得AE是⊙O的切线;
(2)过点O作OF⊥CD,垂足为点F.从而证得四边形AOFE是矩形,得出OF=AE=4cm,根据垂径定理得出DF=CD=3cm,在Rt△ODF中,根据勾股定理即可求得⊙O的半径,得出ED,根据勾股定理即可求得AD.
(1)证明:连结OA.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA.
∴∠OAD=∠EDA,∴EC∥OA.
∵AE⊥CD,∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,∴AE是⊙O的切线.
(2)过点O作OF⊥CD,垂足为点F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=4cm.EF=OA,
又∵OF⊥CD,
∴DF=CD=3cm.
在Rt△ODF中,OD= =5cm,
即⊙O的半径为5cm,
∴EF=OA=5cm,
∴ED=EF-DF=5-3=2cm,
在Rt△AED中,AD= =2.
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【题目】为争创文明城市,我市交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查,并将两次收集的数据制成如下统计图表.
类别 | 人数 | 百分比 |
A | 68 | 6.8% |
B | 245 | b% |
C | a | 51% |
D | 177 | 17.7% |
总计 | c | 100% |
根据以上提供的信息解决下列问题:
(1)a= ,b= c=
(2)若我市约有30万人使用电瓶车,请分别计算活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数.
(3)经过某十字路口,汽车无法继续直行只可左转或右转,电动车不受限制,现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该路口,用画树状图或列表的方法求汽车和电动车都向左转的概率.
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【题目】如图,点A,B,C是⊙O上的三个点,点D在BC的延长线上.有如下四个结论:①在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BCE=∠DCE;②在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BAE=∠AEC;③在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得EO平分∠AEC;④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A,C重合) ,∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④
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【题目】在小正方形组成网格图中,四边形 ABCD 的顶点都在格点上,如图所示.则下列结论错 误的是( )
A.B.
C.四边形是菱形D.将边向右平移格,再向上平移格就与边重合
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 3 ,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.
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【题目】如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;
(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.
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【题目】如图在△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P是边BC上由B向C运动(不与点B、C重合)的一动点,P点的速度是1cm/s,设点P的运动时间为t,过P点作AC的平行线交AB与点N,连接AP,
(1)请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长,
(2)当t为何值时,△APN的面积等于△ACP面积的三分之一?
(3)在点P的运动过程中,是否存在某一时刻的t的值,使得△APN的面积有最大值,若存在请求出t的值并计算最大面积;若不存在,请说明理由.
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