Question

【题目】如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.

连结BE，

∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，

∴点E是△ABC的内心，

∴BE平分∠ABC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，

∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，

∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，

∵，

∴AD=BD，

如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，

∠BDO＝∠ADO＝45°，

在CD的延长线上，作DF＝DA，

则∠AFB＝45°，

即∠AFB+∠AEB＝180°，

∴A、E、B、F四点共圆，

∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，

∴DE＝DA＝DF，

∴点D为弓形AB所在圆的圆心，

设⊙O的半径为R，

则点C的运动路径长为：，

DA＝R，

点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，

C、E两点的运动路径长比为：，

故选A.