Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0,1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线，过点B作X轴的垂线，记，的交点为P。

（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。

（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上。

①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线。

②设点P到x轴，y轴的距离分别为，，求+的范围。当+=8时，求点P的坐标。

③将曲线在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）答案见解析 （2）①，抛物线 ②（3，5）或（-3，5） ③－＜k＜

【解析】

（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可；

（2）①分x>0或x<0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题；

②由题意得，列出方程即可解决问题．

③求出直线y=2与抛物线 y=的两个交点为（-，2）和（，2），利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题.

（1）

（2）①当x＞0时，如图，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，

∵l1垂直平分AB

∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，

由勾股定理得：，整理得：；

当x≤0时，点P（x，y）同样满足，

∴曲线L就是二次函数的图像.即曲线L是一条抛物线.

②由题意可知， ，d2=｜x｜

∴

当x=0时，d1+d2有最小值，

∴d1+d2的范围是d1+d2≥.

当d1+d2=8时，则

（Ⅰ）当x≥0时，原方程化为.解得x1=3，x2= -5（舍去）.

（Ⅱ）当x＜0时，原方程化为.解得x1=-3，x2= 5（舍去）.

将x=±3代入，得y=5，

∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）；

③k的取值范围是：－＜k＜.

解答过程如下（过程不需写）：把y=2代入，得x1=－，x2=.

∴直线y=2与抛物线两个交点的坐标为（－，2）和（，2）.

当直线y=kx+3过点（－，2）时，可求得k=；

当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得k=－.

故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－＜k＜.