Question

如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=4，DB=8，则BC的长是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：根据折叠的性质可得

BC

=

BDC

，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BCD+∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠BCD+∠CBD，从而得到∠BAC=∠ADC，根据等角对等边可得AC=CD，过点C作CE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE=

1

2

AD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，
∴

BC

=

BDC

，
∴∠BAC=∠BCD+∠CBD，
在△BCD中，∠ADC=∠BCD+∠CBD，
∴∠BAC=∠ADC，
∴AC=CD，
过点C作CE⊥AD于E，
则AE=DE=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴BE=BD+DE=8+2=10，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE=

AE•BE

=

2×10

=2

5

，
在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=

(2 5 )2+102

=

120

=2

30

．
故答案为：2

30

．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC=CD．