Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论： ①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；
④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（填序号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：由图象开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个：①③④．
故答案为：①③④．
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣ 代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．