Question

【题目】如图，在△ABC中，E为BC边上一点，以BE为直径的AR半圆D与AC相切于点F，且EF∥AD，AD交半圆D于点G．

（1）求证：AB是半圆D的切线；

（2）若EF＝2，AD＝5，求切线长AB．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接DF，根据切线的性质得到DF⊥AC，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，由等腰三角形的性质得到∠EFD＝∠FED，求得∠ADF＝∠ADB，根据全等三角形的性质得到∠ABD＝∠AFD＝90°，于是得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，设CE＝2x，于是得到CD＝5x，DF＝DE＝3x，根据勾股定理得到CF＝4x，于是得到AF＝6x，在Rt△ADF中根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：连接DF，

∵AC与半圆D相切于点F，

∴DF⊥AC，

∴∠AFD＝90°，

∵EF∥AD，

∴∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，

又∵DF＝DE，

∴∠EFD＝∠FED，

∴∠ADF＝∠ADB，

在△ABD与△AFD中,

∴△ABD≌△AFD （SAS），

∴∠ABD＝∠AFD＝90°，

∴AB是半圆D的切线；

（2）解：∵EF∥AD，

∴△CFE∽△CAD，

∴，

设CE＝2x，

∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，

∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，

∴AF＝6x，

在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，

解得x＝，

∴AB＝AF＝6x＝．