Question

【题目】阅读下面材料：数学课上，老师出示了这祥一个问题：

如图，在正方形ABCD中，点F在AB上，点E在BC延长线上。且AF=CE，连接EF，过点D作DH⊥FE于点H，连接CH并延长交BD于点0，∠BFE=75°.求的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小柏：“通过观察和度量，发现点H是线段EF的中点”。

小吉：“∠BFE=75°，说明图形中隐含着特殊角”；

小亮：“通过观察和度量，发现CO⊥BD”；

小刚：“题目中的条件是连接CH并延长交BD于点O，所以CO平分∠BCD不是己知条件。不能由三线合一得到CO⊥BD”；

小杰：“利用中点作辅助线，直接或通过三角形全等，就能证出CO⊥BD，从而得到结论”；……；

老师：“延长DH交BC于点G，若刪除∠BFB=75°，保留原题其余条件，取AD中点M，连接MH，如果给出AB，MH的值。那么可以求出GE的长度”.

请回答：(1)证明FH=EH；

(2)求的值；

(3)若AB=4.MH=，则GE的长度为_____________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ；（3）

【解析】

（1）如图1，连接DE，DF,证明△DAF≌△DCE（SAS）即可解决问题；
（2）如图2，连接BH,先证出BH=EF，再证ΔBHC≌ΔDHC，得到∠HOB=90°，OC⊥BD，∠HBO=30°，得出OH=BH，即可解决问题；
（3）如图3，连接OA，作MK⊥OA于K．首先证明OH=HC，利用平行线分线段成比例定理求出CG，再利用相似三角形的性质解决问题即可．

（1）如图1，

连接DE，DF

∵正方形ABCD

∴AD=CD=CB=AB

∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°

∴∠DCE=∠A=90°

∴在ΔFAD和ΔECD中

∴ΔDAF≌ΔDCE(SAS)

∴DF=DE

∵DH⊥EF

∴FH=EH

(2)如图2，连接BH,

∵ΔFAD≌ΔECD

∴∠ADF=∠CDE

∵∠ADC=90°=∠ADF+∠FDC

∴∠EDC+∠FDC=90°

∴∠FDE=90°

∴DH=EF=EH=FH

∵∠FBC=90°

∴BH=EF=EH=FH

∴BH=DH

∴在ΔBHC和ΔDHC中

∴ΔBHC≌ΔDHC（SSS）

∴∠BCH=∠DCH

∴OC⊥BD

∴∠HOB=90°

∵BH=FH，∠BFE =75°

∴∠FBH=∠BFH=75°

∵正方形ABCD

∴∠ABD=45°，∠HBO=30°

∴OH=BH

∴；

（3）解：如图3，连接OA，作MK⊥OA于K．

由（2）可知：A，O，C共线，
∴∠MAK=45°，
∵AM=MB=2，

∵CG∥AB，

由△EHG∽△BCG，可得