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【题目】如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使BOC135°,将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处,斜边OM与直线AB重合,另外两条直角边都在直线AB的下方.

1)将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°,如图2所示,此时BOM ;在图2中,OM是否平分CON?请说明理由;

2)接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示,使得ONAOC的内部,请探究:AOMCON之间的数量关系,并说明理由;

3)将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,当旋转到第 秒时,COMCON互补.

【答案】190°OM平分∠CON;(2)∠AOM=CON,详见解析;(31560.

【解析】

1)由旋转得∠BOM=90°,求出∠COM=45°=MON即可得到OM平分∠CON.

2)先求出∠AOC=45°,得到∠CON+AON=45°,再由∠MON=45°得到∠AOM+AON=45°,即可证得∠AOM=CON

3)分三种情况讨论:①当OM在∠BOC内部时,②当OM在∠BOC外部,ON在∠BOC内部时,③当ON在∠BOC外部时,分别求出时间t的值.

(1)由题意得,∠BOM=90°,∠MON=45°

OM平分∠CON,理由如下:

∵∠BOC=135°

∴∠COM=BOC-BOM=45°

∴∠COM=MON

OM平分∠CON

2)∠AOM=CON,理由如下:

∵∠AOC=180°-BOC=45°,

∴∠CON+AON=45°,

∵∠MON=45°,

∴∠AOM+AON=45°,

∴∠AOM=CON

3)设运动t秒(0),

①当OM在∠BOC内部时,∠COM=

2+45=180

t=15

②当OM在∠BOC外部,ON在∠BOC内部时,

COM+CON=45°,不合题意,舍去;

③当ON在∠BOC外部时,∠CON=,

2=180

t=60

∴当旋转到第1560秒时,∠COM与∠CON互补

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同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:

1)写出ab的值。

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小柏:通过观察和度量,发现点H是线段EF的中点

小吉:BFE=75°,说明图形中隐含着特殊角

小亮:通过观察和度量,发现COBD”

小刚:题目中的条件是连接CH并延长交BD于点O,所以CO平分∠BCD不是己知条件。不能由三线合一得到COBD”

小杰:利用中点作辅助线,直接或通过三角形全等,就能证出COBD,从而得到结论……

老师:延长DHBC于点G,若刪除∠BFB=75°,保留原题其余条件,取AD中点M,连接MH,如果给出ABMH的值。那么可以求出GE的长度”.

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