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【题目】如图,已知抛物线yax2+bx+6经过两点A(﹣10),B30),C是抛物线与y轴的交点.

1)求抛物线的解析式;

2)点Pmn)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;

3)点M在抛物线上运动,点Ny轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.

【答案】1y=﹣2x2+4x+6;(2SPBC=﹣3m2+9m0m3);(3M18),N0)或M),N0)或M),N0)或M30),N0,﹣

【解析】

1)根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

2)过点PPF∥y轴,交BC于点F,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标,根据点BC的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,设点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),进而可得出PF的长度,利用三角形的面积公式可得出SPBC=﹣3m2+9m,配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值;

3)分两种不同情况,当点M位于点C上方或下方时,画出图形,由相似三角形的性质得出方程,求出点M,点N的坐标即可.

1)将A(﹣10)、B30)代入yax2+bx+6

得:,解得:

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+4x+6

2)过点PPFy轴,交BC于点F,如图1所示.

x0时,y=﹣2x2+4x+66

∴点C的坐标为(06).

设直线BC的解析式为ykx+c

B30)、C06)代入ykx+c,得:

,解得:

∴直线BC的解析式为y=﹣2x+6

设点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),

PF=﹣2m2+4m+6﹣(﹣2m+6)=﹣2m2+6m

∴当时,△PBC面积取最大值,最大值为

∵点Pmn)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,

0m3

3)存在点M、点N使得∠CMN90°,且△CMN与△OBC相似.

如图2,∠CMN90°,当点M位于点C上方,过点MMDy轴于点D

∵∠CDM=∠CMN90°,∠DCM=∠NCM

∴△MCD∽△NCM

若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△NCM相似,

Ma,﹣2a2+4a+6),C06),

DC=﹣2a2+4aDMa

时,△COB∽△CDM∽△CMN

解得,a1

M18),

此时

N0),

时,△COB∽△MDC∽△NMC

解得

M),

此时N0).

如图3,当点M位于点C的下方,

过点MMEy轴于点E

Ma,﹣2a2+4a+6),C06),

EC2a24aEMa

同理可得:,△CMN与△OBC相似,

解得a3

M)或M30),

此时N点坐标为,N(0,)或N(0,﹣).

综合以上得,M18),N(0,M(N(0,M),,N(0,)或M(3,0)N(0,﹣),使得∠CMN90°,且△CMN与△OBC相似.

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频数(人数)

频率

运动

20

娱乐

40

阅读

其他

0.1

根据以上图表信息,解答下列问题:

1)在被调查的学生中,最喜欢运动的学生人数为 人,最喜欢娱乐的学生人数占被调查学生人数的百分比为 %.

2)本次调查的样本容量是 ,最喜欢其他的学生人数为 .

3)若该校七年级共有360名学生,试估计最喜欢阅读的学生人数.

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2+22=232

2+22+23=242

2+22+23+24=252

2+22+23+24+25=262

已知按一定规律排列的一组数:220221222223224238239240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示).

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售价x/件)

120

160

190

月销售量y(件)

260

180

120

月销售利润w(元)

5200

10800

10800

注:月销售利润月销售量×(售价进价)

1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).

2)求当售价为多少元时,月销售利润最大,并求最大利润是多少?

3)由于某种原因,该商品进价降低了m/,商家规定该运动服售价不得低于180/件,该商店在今后的销售中,月销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若月销售最大利润是14000元,求m的值.

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1)求抛物线的函数表达式;

2设点E是抛物线上一动点,且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时,求点E的坐标,及△ABE面积的最大值S

抛物线上是否还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,若存在,求出满足条件的点M的坐标;若不存在,说明理由;

3)若点F为线段OB上一动点,直接写出的最小值.

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