【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,直线与
轴,
轴分别交于点A和点B.抛物线
经过A,B两点,且对称轴为直线
,抛物线与
轴的另一交点为点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设点E是抛物线上一动点,且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时,求点E的坐标,及△ABE面积的最大值S;
抛物线上是否还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,若存在,求出满足条件的点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点F为线段OB上一动点,直接写出的最小值.
【答案】(1);(2)E(-2,-4),4;②存在,
;(3)
【解析】
(1)求出AB两点坐标,利用待定系数法即可求解;
(2)设点E的坐标为,当△ABE的面积最大时,点E在抛物线上且距AB最远,此时E所在直线与AB平行,且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l:y=-x+b,与二次函数联立方程组,根据只有一个交点,得
,求出b,进而求出点E坐标;
抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等,求出直线
解析式,与二次函数联立方程组,即可求解;
(3)如图,作 交x轴于点G,作FP⊥BG,于P,得到
,所以当C、F、P在同一直线上时,
有最小值,作CH⊥GB于H,求出CH即可.
解:(1)在中分别令x=0,y=0,可得点A(-4,0),B(0,-4),
根据A,B坐标及对称轴为直线,可得方程组
解方程组可得
∴抛物线的函数表达式为
(2)①设点E的坐标为,当△ABE的面积最大时,
点E在抛物线上且距AB最远,此时E所在直线与AB平行,且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l:y=-x+b.
联立得方程,消去y
得,据题意
;
解之得,直线l的解析式为y=-x-6,
联立方程,解得
,
∴点E(-2,-4),
过E作y轴的平行线可求得△ABE面积的最大值为4.
②抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等,易得直线
是直线l向上平移4个单位,
∴解析式为y=-x-2,与二次函数联立方程组可得
方程组解之得
∴存在两个点,
(3)如图,作 交x轴于点G,作FP⊥BG于P,
则是直角三角形,
∴,
∴,
∴当C、F、P在同一直线上时, 有最小值,
作CH⊥GB于H,
在中,∵
∴,
,
∵A(-4,0),抛物线对称轴为直线,
∴点C坐标为(2,0),
∴,
∴ 在中,
,
∴的最小值为
.
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【题目】已知:△ABC和△ADE按如图所示方式放置,点D在△ABC内,连接BD、CD和CE,且∠DCE=90°.
(1)如图①,当△ABC和△ADE均为等边三角形时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(2)如图②,当BA=BC=2AC,DA=DE=2AE时,试确定AD、BD、CD三条线段的关系,并说明理由;
(3)如图③,当AB:BC:AC=AD:DE:AE=m:n:p时,请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;
(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为( )
A.14B.15
C.D.
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【题目】某校7名学生在某次测量体温(单位:℃)时得到如下数据:36.3,36.4,36.5,36.7,36.6,36.5,36.5,对这组数据描述正确的是( )
A.众数是36.5B.中位数是36.7
C.平均数是36.6D.方差是0.4
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【题目】某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图,已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m,为了解自己的有效测温区间.身高1.6m的小聪做了如下实验:当他在地面N处时测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为18°;在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度.(额头到地面的距离以身高计,计算精确到0.1m,sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)
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【题目】某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?
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【题目】如图,△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,BC=2,D是AB上的动点,将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,连接BE,则BE的最小值是( )
A.-1B.
C.
D.2
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