【题目】如图,二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象经过 A(1,0),B(0,﹣3)两点.
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连接 BA、BC,求△ABC 的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3, 即 y=﹣(x﹣2)2+1,(2,1);(2);(3)(2,3)或(2,-3).
【解析】
(1)根据二次函数 的图象经过 A(1,0),B(0,﹣3)两点,即可得到抛物线的解析式为
即
,进而得出抛物线的顶点坐标;
(2)由(1)可得,C(2,0),根据 A(1,0),B(0,﹣3),可得 OC=2,OA=1, OB=3,AC=1,即可得到△ABC的面积;
(3)分两种情况讨论:当四边形 OBCP1 是平行四边形时,CP1=OB=3;当四边形 OBP2C 是平行四边形时,CP2=OB=3,即可得到 P 点坐标.
解:(1)∵二次函数 的图象经过 A(1,0),B(0,﹣3)两点,
∴抛物线的解析式为 即
∴抛物线的顶点坐标为(2,1);
(2)由(1)可得,C(2,0),又∵A(1,0),B(0,﹣3),
∴OC=2,OA =1,OB=3,
∴AC=1,
∴△ABC 的面积
(3)存在,P 点有2个,坐标为 P1(2,3),P2(2,﹣3).
如图,当四边形 OBCP1 是平行四边形时,CP1=OB=3,而 OC=2, 故 P1(2,3);
当四边形 OBP2C 是平行四边形时,CP2=OB=3,而 OC=2, 故 P2(2,﹣3).
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【题目】如图,点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D,连 接 BE
(1) 若∠CBD=35°,求∠BAC 及∠BEC 的度数
(2) 求证:DE=DB
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【题目】如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足H在半径OB上,AH=5,CD=,点E在弧AD上,射线AE与CD的延长线交于点F.
(1)求圆O的半径;
(2)如果AE=6,求EF的长.
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【题目】小颖同学学完统计知识后,随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄,将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图:
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)小颖同学共调查了多少名居民的年龄,扇形统计图中a,b各等于多少?
(2)补全条形统计图;
(3)若该辖区年龄在0~14岁的居民约有1500人,请估计年龄在15~59岁的居民的人数.
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【题目】如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=:3.若新坡角下需留3米宽的人行道,问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
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【题目】如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )
A. B. ∠B =∠D C. AD∥BC D. ∠BAC=∠D
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【题目】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后,发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30℃时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1℃,电阻增加kΩ.
(1)求当10≤t≤30时,R和t之间的关系式;
(2)求温度在30℃时电阻R的值;并求出t≥30时,R和t之间的关系式;
(3)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过6 kΩ?
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【题目】(12分)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的弦,且AB∥CD,过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)若AE=6,CD=5,求OF的长.
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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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