Question

【题目】如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点．

（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求△ABC 的面积．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x﹣3， 即 y=﹣（x﹣2）2+1，（2，1）；（2）；（3）（2，3）或（2，-3）.

【解析】

（1）根据二次函数 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点，即可得到抛物线的解析式为 即，进而得出抛物线的顶点坐标；

（2）由（1）可得，C（2，0），根据 A（1，0），B（0，﹣3），可得 OC=2，OA=1， OB=3，AC=1，即可得到△ABC的面积；

（3）分两种情况讨论：当四边形 OBCP1 是平行四边形时，CP1=OB=3；当四边形 OBP2C 是平行四边形时，CP2=OB=3，即可得到 P 点坐标．

解：（1）∵二次函数 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点，

∴抛物线的解析式为 即

∴抛物线的顶点坐标为（2，1）；

（2）由（1）可得，C（2，0），又∵A（1，0），B（0，﹣3），

∴OC=2，OA =1，OB=3，

∴AC=1，

∴△ABC 的面积

（3）存在，P 点有2个，坐标为 P1（2，3），P2（2，﹣3）．

如图，当四边形 OBCP1 是平行四边形时，CP1=OB=3，而 OC=2， 故 P1（2，3）；

当四边形 OBP2C 是平行四边形时，CP2=OB=3，而 OC=2， 故 P2（2，﹣3）．