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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+8;(2)①S=﹣m2+3m;②满足条件的点F共有四个,坐标分别为F1,8),F2,4),F3,6+),F4,6﹣).

【解析】

(1)将A、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c,即可求得抛物线的解析式;
(2)①先用m表示出QE的长度,进而求出三角形的面积S关于m的函数;
②直接写出满足条件的F点的坐标即可,注意不要漏写.

解:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得

解得:

抛物线的解析式为y=x2+x+8;

(2)①∵OA=8,OC=6,

∴AC= =10,

过点QQE⊥BCE点,则sin∠ACB = = =

=

∴QE=(10﹣m),

∴S=CPQE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m;

②∵S=CPQE=(10﹣m)=﹣m2+3m=﹣(m﹣5)2+

m=5时,S取最大值;

在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,

抛物线的解析式为y=x2+x+8的对称轴为x=

D的坐标为(3,8),Q(3,4),

∠FDQ=90°时,F1,8),

∠FQD=90°时,则F2,4),

∠DFQ=90°时,设F(,n),

FD2+FQ2=DQ2

+(8﹣n)2++(n﹣4)2=16,

解得:n=6±

∴F3,6+,F4,6﹣),

满足条件的点F共有四个,坐标分别为

F1,8),F2,4),F3,6+),F4,6﹣).

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第一次

第二次

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