Question

【题目】如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连 接 BE

(1) 若∠CBD＝35°，求∠BAC 及∠BEC 的度数

(2) 求证：DE＝DB

Answer 1

【答案】(1) 125°；(2)见详解.

【解析】

(1)根据三角形的内心是三条角平分线的交点，得到∠BAC=2∠CAD，∠ABC=2∠EBC，∠ACB=∠ECB，再用三角形内角和求出∠BEC；

(2)由三角形的内心E得到∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，经过等量代换得∠DEB=∠DBE，所以DE=DB．

(1)在外接圆中，∵∠CBD=35°，

∵∠CAD=35°，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAC=2∠CAD =70°，

∴∠EBC+∠ECB=（180°-70°）÷2=55°，

∴∠BEC=180°-55°=125°．

(2) 证明：∵E是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，

∵∠DEB=∠BAD +∠EBA，∠DBE=∠EBC +∠CBD，∠CBD =∠CAD，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=DB．