【题目】对于平面直角坐标系O
中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点M,N,使得∠MPN=60°,则称P为⊙C 的关联点。已知点D(
,
),E(0,-2),F(
,0)
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点O,D,E,F中,⊙O的关联点是______ ____;
②如果G(0,t)是⊙O的关联点,则t的取值范围是 ;
(2)如果线段EF上每一个点都是⊙O的关联点,那么⊙O的半径最小为 ;
(3)Rt⊿ABC中,∠C=90,BC=8,∠A=30
,⊙P的半径为1,当点P运动时,始终确保⊿ABC的三条边中至少有一条边上恰好有唯一的⊙P的关联点。请你画出点P所走过的路线围成的图形的示意图,并在下面横线上直接写出它的总长。
答:点P经过的路线围成的图形的总长为 。
【答案】(1)①O、D、E;②-2≤t≤2;(2) ;(3)
.
【解析】
(1)①根据关联点的定义得出E点是 O的关联点,进而得出F、D,与 O的关系;
②根据题意可知G(0,t)是⊙O的关联点,计算出t的取值范围即可;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点;再考虑临界情况,即恰好E、F点为 K的关联时,则KF=2KN=EF=2,即可得出圆的半径r的取值范围,即可得出结论.
(3)根据题意与周长公式列出等式即可得出结论.
(1)① O、D、E
② -2≦t≦2
根据关联点的定义得出E点是 O的关联点,根据题意可知G(0,t)是⊙O的关联点,所以t的范围是-2≦t≦2.
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点;再考虑临界情况,即恰好E、F点为 K的关联时,则KF=2KN=EF=2,即可得出圆的半径r的取值范围,
.
(3)点P经过的路线围成的图形的总长为.
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【题目】已知关于x的方程x2+(m﹣3)x﹣m(2m﹣3)=0
(1)证明:无论m为何值方程都有两个实数根;
(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在,求出满足条件的正数m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D、E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,BC=2,则AB=_____.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是直线CD上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求PE的长最大时m的值.
(3)Q是平面直角坐标系内一点,在(2)的情况下,以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D,连 接 BE
(1) 若∠CBD=35°,求∠BAC 及∠BEC 的度数
(2) 求证:DE=DB
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【题目】如图:矩形ABCD中AB=2,BC= ,⊙A是以A为圆心,半径r=1的圆,若⊙A绕着点B顺时针旋转,旋转角为α( 0°<α<180°);当旋转后的圆与矩形ABCD的边相切时,α=________度.
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【题目】已知四边形中,
,
,含
角(
)的直角三角板
(如图)在图中平移,直角边
,顶点
、
分别在边
、
上,延长
到点
,使
,若
,
,则点
从点
平移到点
的过程中,点
的运动路径长为__________.
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【题目】如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=:3.若新坡角下需留3米宽的人行道,问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
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