Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，⊙A与边AC、AB交于点D，E，⊙A的半径是1，若点F为BC的中点，BF=$\sqrt{3}$，求证：直线BC与⊙A相切．

Answer 1

分析 连结AF，如图，先利用等腰三角形的性质得AF⊥BC，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AF=1，从而可判断AF为⊙A的半径，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 证明：连结AF，如图，
∵AB=AC，点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
在Rt△ABF中，∵∠B=30°，BF=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=1，
而⊙A的半径是1，
∴AF为⊙A的半径，
而AF⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决问题的关键是证明点A到BC的距离等于半径1．