Question

【题目】在平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“湘一比”，记为，如点，则．

（1）若在直线上，求点的“湘一比”及直线与轴夹角的正切值；

（2）已知点的“湘一比”为，且在上，的半径为，若点在上，求的“湘一比”的取值范围；

（3）设、为正整数，且，对一切实数，如果直线与二次函数交于、，且，求点的“湘一比”的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据“湘一比”的定义求出a的值，即可得出结论；
（2）先确定出点Q的坐标，进而判断出直线OM和⊙Q相切时，两种情况即可得出kM的最大值和最小值，就是分界点，即可得出结论；
（3）先求出x1=-3，x2=mt，进而建立不等式组，得出m＞2且（mn-6）2≤0，即可得出结论．

解：(1) 在直线上，

，

，

，此时直线与轴夹角的正切值为；

(2)由题意知，

，

，

在上，

或 (舍)，

根据点的”纵横比”知，直线和相切时，一个是的最大值和另一个是最小值，

当 时， 最小， 此时，

当时，最大，此时，

(3)由题意知，，

，

，，

，

，

∵等于一切实数不等式恒成立，

，

为正整数，

且

，

，

为正整数，

或，，

或.