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【题目】如图,⊙O为等腰三角形ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,AB=12P上任意一点(不与点BC重合),直线CPAB的延长线于点Q,⊙O在点P处的切线PDBQ于点D,则下列结论:①若∠PAB=30°,则的长为π;②若PDBC,则AP平分∠CAB;③若PB=BD,则PD=6;④无论点P上的位置如何变化,CPCQ=108.其中正确结论的序号为 ______

【答案】②③

【解析】

①根据∠POB=60°OB=6,即可求得弧的长;②根据切线的性质以及垂径定理,即可得到=,据此可得AP平分∠CAB;③根据BP=BO=PO=6,可得△BOP是等边三角形,据此即可得出PD=6;④判定△ACP∽△QCA,即可得到=,即CPCQ=CA2,据此即可判断.

解:如图,连接OP

AO=OP,∠PAB=30°

∴∠POB=60°

AB=12

OB=6

的长为=2π,故①错误;

PD是⊙O的切线,

OPPD

PDBC

OPBC

=

∴∠PAC=PAB

AP平分∠CAB,故②正确;

PB=BD,则∠BPD=BDP

OPPD

∴∠BPD+BPO=BDP+BOP

∴∠BOP=BPO

BP=BO=PO=6,即△BOP是等边三角形,

PD=OP=6,故③正确;

AC=BC

∴∠BAC=ABC

又∵∠ABC=APC

∴∠APC=BAC

又∵∠ACP=QCA

∴△ACP∽△QCA

=,即CPCQ=CA2=72,故④错误;

故答案为:②③.

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