【题目】如图,⊙O为等腰三角形ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,AB=12,P为上任意一点(不与点B,C重合),直线CP交AB的延长线于点Q,⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D,则下列结论:①若∠PAB=30°,则的长为π;②若PD∥BC,则AP平分∠CAB;③若PB=BD,则PD=6;④无论点P在上的位置如何变化,CPCQ=108.其中正确结论的序号为 ______.
【答案】②③
【解析】
①根据∠POB=60°,OB=6,即可求得弧的长;②根据切线的性质以及垂径定理,即可得到=,据此可得AP平分∠CAB;③根据BP=BO=PO=6,可得△BOP是等边三角形,据此即可得出PD=6;④判定△ACP∽△QCA,即可得到=,即CPCQ=CA2,据此即可判断.
解:如图,连接OP,
∵AO=OP,∠PAB=30°,
∴∠POB=60°,
∵AB=12,
∴OB=6,
∴的长为=2π,故①错误;
∵PD是⊙O的切线,
∴OP⊥PD,
∵PD∥BC,
∴OP⊥BC,
∴=,
∴∠PAC=∠PAB,
∴AP平分∠CAB,故②正确;
若PB=BD,则∠BPD=∠BDP,
∵OP⊥PD,
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP,
∴∠BOP=∠BPO,
∴BP=BO=PO=6,即△BOP是等边三角形,
∴PD=OP=6,故③正确;
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC,
又∵∠ABC=∠APC,
∴∠APC=∠BAC,
又∵∠ACP=∠QCA,
∴△ACP∽△QCA,
∴=,即CPCQ=CA2=72,故④错误;
故答案为:②③.
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【题目】如图,在平面直角坐标中,一次函数y=﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限,顶点D在反比例函数(k≠0)的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后,顶点C恰好落在反比例函数的图象上,则n的值是_____.
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【题目】如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使kx+b<成立的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.
【1】求证:CF=BF;
【2】若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)已知AB=4,AE=3.求BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=﹣的图象经过点B,则m的值是( )
A.m=3B.C.D.
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【题目】在平面直角坐标系中的点,将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“湘一比”,记为,如点,则.
(1)若在直线上,求点的“湘一比”及直线与轴夹角的正切值;
(2)已知点的“湘一比”为,且在上,的半径为,若点在上,求的“湘一比”的取值范围;
(3)设、为正整数,且,对一切实数,如果直线与二次函数交于、,且,求点的“湘一比”的值.
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【题目】每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于某个点对称,则这个点的坐标为 .
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