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【题目】如图,在平面直角坐标系中,ABC的边BC在x轴上,顶点A在y轴的正半轴上,OA=2,OB=1,OC=4.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)设点M是x轴上的动点,试问:在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?若存在,写出所有符合条件的点Q的坐标,选择一种情况加以说明;若不存在,说明理由.

【答案】1y=x2+x+22)(02),(2),(2),(2.52)(3)(

【解析】试题分析:1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.将点ABC的坐标代入得到关于abc的方程,从而可求得abc的值;

2)分为AB为菱形的边和AB为菱形的对角共可画出4种不同的图形,然后依据菱形对边平行,对角线互相平分的性质确定出点N的坐标即可;

3)如图5所示:分别以点A和点P为直角的顶点作出等腰直角APQ,然后由抛物线的对称轴方程求得点P的坐标,过点Q1Q1Mx轴,垂足为M

然后证明AOP≌△PMQ1,由全等三角形的性质可求得Q1M=OP=PM=OA=2,于是可求得点Q1的坐标.

试题解析:1)由题意可知;A02)、B﹣10)、C40).

设过ABC三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.则,解得:

所以抛物线的解析式为y=x2+x+2

2)如图1所示:

∵四边形ABNM为菱形,

OA=ON

∴点N的坐标为(0﹣2).

如图2所示:

由勾股定理可知:AB=

∵四边形ABMN为菱形,

NABMAN=AB

∴点N的坐标为(﹣2).

如图3所示;

∵四边形ABMN为菱形,

NABMAN=AB

∴点N的坐标为(2).

如图4所示:

∵四边形ABMN为菱形,

NABMAN=NB

设点N的坐标为(x2).由两点间的距离公式可知:(x+12+22=x2

解得:x=﹣2.5

∴点N的坐标为(﹣2.52).

∴点N的坐标为(02),(2),(2),(2.52).

3)如图5所示:

使PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标为Q1 ),Q2),Q32 ),Q42 ).

说明Q1:过点Q1Q1Mx轴,垂足为M

x=

P0).

OP=

由题意得;∠APQ1=90°PA=PQ1

∴∠OPA+CPQ1=90°

∵∠APO+OAP=90°

∴∠OAP=MPQ1

AOPPMQ1中,

∴△AOP≌△PMQ1

Q1M=0P=PM=OA=2

OM=OP+PM=+2=

∴点Q1的坐标为( ).

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