【题目】已知,,
分别在直线
上,
是平面内一点,
和
的平分线所在直线相交于点
.
(1)如图1,当都在直线
之间,且
时,
的度数为_________;
(2)如图2,当都在直线
上方时,探究
和
之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,当在直线
两侧时,直接写出
和
之间的数量关系是_____.
【答案】(1)45°;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)过E作EH∥AB,FG∥AB,根据平行线的性质得到∠BME=∠MEH,∠DNE=∠NEH,根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF=(∠BME+∠DNE)=45°,于是得到结论;(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=∠EGB-∠EMB,根据平行线的性质得到∠EGB=∠END,∠FHB=∠FND,根据角平分线的定义得到∠EMB=2∠FMB,∠END=2∠FND,于是得到结论;(3)根据平行线的性质得到∠5=∠END,根据角平分线的定义得到∠5=∠END=2∠4,∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4,根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论.
解:(1)过E作EH∥AB,过点F作FG∥AB,
∵AB∥CD,
∴EH∥CD,FG∥CD,
∴∠BME=∠MEH,∠DNE=∠NEH,
∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°,
同理∠MFN=∠BMF+∠DNF,
∵MF平分∠BME,FN平分∠DNE,
∴∠BMF+∠DNF=(∠BME+∠DNE)=45°,
∴∠MFN的度数为45°;
故答案为:45°;
(2)∵∠EGB=∠EMB+∠E,
∴∠E=∠EGB-∠EMB,
∵AB∥CD,
∴∠EGB=∠END,∠FHB=∠FND,
∴∠E=∠END-∠EMB,
∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE,
∴∠EMB=2∠FMB,∠END=2∠FND,
∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2(∠FND-∠FMB),
∵∠FHB=∠FMB+∠F,
∴∠F=∠FHB-∠FMB,
=∠FND-∠FMB,
∴∠E=2∠F;
(3)∠E+∠MFN=180°,
证明:∵AB∥CD,
∴∠5=∠END,
∵NF平分∠END,
∴∠5=∠END=2∠4,
∵MF平分∠BME,
∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4,
∴∠3=∠1=∠E+∠4,
∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-(180°-∠E-2∠4)-(∠E+∠4)=180°+
∠
∴∠MFN+∠E=180°.
故答案为:∠E+∠MFN=180°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边BC在x轴上,顶点A在y轴的正半轴上,OA=2,OB=1,OC=4.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)设点M是x轴上的动点,试问:在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?若存在,写出所有符合条件的点Q的坐标,选择一种情况加以说明;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在锐角中,
是
边上的高.
,且
.连接
,交
的延长线于点
,连接
.下列结论:①
;②
;③
;④
.其中一定正确的个数是( )
A.个B.
个
C.个D.
个
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【题目】已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
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【题目】如图,矩形AEFG的顶点E,G分别在正方形ABCD的AB,AD边上,连接B,交EF于点M,交FG于点N,设AE=a,AG=b,AB=c(b<a<c).
(1)求证: ;
(2)求△AMN的面积(用a,b,c的代数式表示);
(3)当∠MAN=45°时,求证:c2=2ab.
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【题目】为了解学生整体的数学学习能力,年级组织了“数学钻石活动”,从中随机抽取部分学生的成绩进行统计分析,整理得到如下不完整的频数分布表和数分布直方图:
(1)表中的 ,
;
(2)把上面的频数分布直方图补充完整;
(3)根据调查结果,估计年级500名学生中,成绩不低于85分的人数。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数
的图像交于第一、三象限内的
、
两点,与
轴交于点
,点
在
轴负半轴上,
,且四边形
是平行四边形,点
的纵坐标为
.
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接,求
的面积;
(3)直接写出关于的不等式
的解集.
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【题目】已知y是x的函数,自变量x的取值范围x>0,下表是y与x的几组对应值:
小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表格中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象;
(2)根据画出的函数图象,写出:
①x=4对应的函数值y约为_____________;
②该函数的一条性质:_____________.
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【题目】大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此
的小数部分我们不可能全部写出来,
,于是可用
来表示
的小数部分.请解答下列问题:
(1)的整数部分是________,小数部分是________.
(2)如果的小数部分为
,
的整数部分为
,求
的值.
(3)已知:,其中
是整数,且
,求
的相反数.
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