Question

【题目】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形。例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形。

（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形_________常态三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为__________________（请按从小到大排列）；

（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积。

Answer 1

【答案】（1）是；（2）：：；（3）18或6．

【解析】

（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．

解：（1）∵22+42=4×（）2=20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
则2a2=3b2，
故a：b=：，
∴设a=x，b=x，
则c=x，
∴此三角形的三边长之比为：：：．
故答案为：：：；
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴当AD=BD=DC，CD2+BD2=4×62时，
解得：BD=DC=6，
则AB=12，
故AC==6，
则△ABC的面积为：×6×6=18．
当AD=BD=DC，CD2+BC2=4×BD2时，
解得：BD=DC=2，
则AB=4，
故AC=2，
则△ABC的面积为：×6×2=6．
故△ABC的面积为18或6．