【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,∠DAB=45°.
(1)如图①,判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,E是⊙O上一点,且点E在AB的下方,若⊙O的半径为3cm,AE=5cm,求点E到AB的距离.
【答案】(1)CD与圆O相切,证明见解析;(2)EF=.
【解析】
(1)连接OD,由题意可得∠AOD=90°,由平行线的性质可得OD⊥CD,则可得结论;
(2)作EF⊥AB于F,连接BE,由圆周角定理可得∠AEB=90°,由勾股定理可求BE的长,由三角函数可求EF的长.
解:
(1)CD与圆O相切
证明:如图①,连接OD,
∵OA=OD
∴∠DAB=∠ADO=45°
∴∠AOD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.
∴∠CDO=∠AOD=90°.
∴OD⊥CD
∴CD与圆O相切
(2)如图②,作EF⊥AB于F,连接BE,
∵AB是圆O的直径,
∴∠AEB=90°,AB=2×3=6
∵AE=5
∴BE=
∵sin∠BAE=
∴
∴EF=
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【题目】如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,过点P垂直于AC的直
线交菱形ABCD的边于M、N两点.设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则
y关于x的函数图象大致形状是【 】
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】某校的一个社会实践小组对本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表:
等级 | 非常了解 | 比较了解 | 基本了解 | 不太了解 |
频数 | 20 | 35 | 41 | 4 |
(1)请根据调查结果,若该校有学生人,请估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数.
(2)在“比较了解”的调查结果里,其中九(1)班学生共有人,其中名男生和名女生,在这人中,打算随机选出位进行采访,求出所选两位同学恰好是1名男生和1名女生的概率.(要求列表或画树状图)
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【题目】如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( )
A. B. 2 C. D. 2
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【题目】如图,直线y=x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此做法进行下去,点A2019的坐标为( )
A. (22017,0)B. (22018,0)C. (22020,0)D. (24034,0)
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【题目】为加快城乡对接,建设美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建,如图,A,B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地可以少走多少千米?(结果保留根号)
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AD=4,E,F分别是CD,BC上的一点,且∠EAF=45°,EC=1,将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合,连接EF,过点B作BM∥AG,交AF于点M,则以下结论:①DE+BF=EF②BF=; ③AF=;④中正确的是( )
A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②④
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