Question

11． 问题探究：观察下面由“※”组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=（$\frac{1+3}{2}$）²=2²
1+3+5=9（$\frac{1+5}{2}$）²=3²
1+3+5+7=16=（$\frac{1+7}{2}$）²=4²，…
问题解决：
（1）试猜想1+3+5+7+9…+29的结果为225．
（2）若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）的结果．
问题拓展：
（3）请用上述规律计算：1017+1019+…+2013+2015．

Answer 1

分析 （1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；
（2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可；
（3）利用以上已知条件得出1017+1019+…+2013+2015=（1+3+5+…+2013+2015）-（1+3+5+…+1013+1015），求出即可．

解答 解：（1）1+3+5+7+9…+29=（$\frac{1+29}{2}$）²=15²=225；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）=（$\frac{1+2n+1}{2}$）²=（n+1）²；   
（3）1017+1019+…+2013+2015
=（1+3+5+…+2013+2015）-（1+3+5+…+1013+1015）
=（$\frac{1+2015}{2}$）²-（$\frac{1+1015}{2}$）²
=1008²-508²
=758000²．

点评 此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．