Question

某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，

商品名称	甲	乙
进价（元/件）	80	100
售价（元/件）	160	240

设其中甲种商品购进x件

（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．

①求y与x的函数关系式；

②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

Answer 1

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；

（2）①根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；

②根据总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的单调性即可解决最值问题；

（3）根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．

【解答】解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，

由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，

解得：x=105，

200﹣x=200﹣105=95（件）．

答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．

（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．

②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，

解得：x≥100，

∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，

∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．

故该商场获得的最大利润为22000元．

（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），

即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．

①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大值，

即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．

②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，

即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．

③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，

∴当x=120时，y有最大值，

即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．

【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．