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【题目】(2016山东省聊城市第25题)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(9,0)和C(0,4).CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直与x轴,垂足为E,l是抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.

(1)求出二次函数的表达式以及点D的坐标;

(2)若RtAOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到RtA1O1F,求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积;

(3)若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t6)得到RtA2O2C2,RtA2O2C2与RtOED重叠部分的图形面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.

【答案】(1)、D(6,4);y=x2+x+4;(2)、;(3)、当0<t3时,S=t2,当3<t6时,S=t23t+12

【解析】

试题分析:(1)、用待定系数法求抛物线解析式;(2)、由GHA1O1,求出GH=1,再求出FH,S重叠部分=SA1O1FSFGH计算即可;(3)、分两种情况直接用面积公式计算,用面积差求出即可.

试题解析:(1)、抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(9,0)和C(0,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x9), C(0,4)在抛物线上, 4=27a,

a= 设抛物线的解析式为y=(x+3)(x9)=x2+x+4,

CD垂直于y轴,C(0,4) ∴﹣x2+x+4=4, x=6, D(6,4),

(2)、如图1, 点F是抛物线y=x2+x+4的顶点,F(3,), FH=

GHA1O1 GH=1,

RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG,

S重叠部分=SA1O1FSFGH=A1O1×O1FGH×FH=×3×4×1×=

(3)、当0<t3时,如图2, C2O2DE, O2G=t,

S=SOO2G=OO2×O2G=t×t=t2

当3<t6时,如图3, C2HOC, C2H=(6t),

S=S四边形A2O2HG=SA2O2C2SC2GH=OA×OCC2H×(t3)=×3×4×(6t)(t3)=t23t+12

当0<t3时,S=t2,当3<t6时,S=t23t+12.

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