Question

【题目】如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是___．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．

如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．

∵BE∥AC，

∴∠EBC+∠C＝180°，

∵∠EBC+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠EOD＝2∠EAD，

∴∠EOD＝2∠C＝定值，

∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，

∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，

∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，

∴BJ＝CJ＝4，

∴AJ＝＝＝2，

∵OK⊥DE，

∴EK＝DK，

∵AB＝6，

∴OE＝OD＝3，

∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，

∴sin∠EOK＝sin∠C＝，

∴＝，

∴EK＝，

∴DE＝2，

∴DE的最小值为2．

故答案为2．