Question

【题目】如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，0）；（2）y=x2+x或y=x2+x．

【解析】

试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出=，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；

（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．

试题解析：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．

由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴=，即AE=2AF②，

①与②联立，解得AE=2，AF=1，

∴点A的坐标为（﹣2，0）；

（2）∵抛物线过原点（0，0），

∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．

∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），

∴对称轴为直线x==﹣1，

∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，

∴C点横坐标为2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∵抛物线开口向上，

∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：

①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），

则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）．

将A（﹣2，0），B（﹣4，2）代入y=ax2+bx，

得，解得．

∴此抛物线的解析式为y=x2+x；

②当OC=BC时，设C（2，y2），

则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）．

将A（﹣2，0），C（2，4）代入y=ax2+bx，

得，解得．

∴此抛物线的解析式为y=x2+x．

综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x2+x或y=x2+x．