【题目】如图,直线x=﹣4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=﹣4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
【答案】(1)(﹣2,0);(2)y=x2+
x或y=
x2+
x.
【解析】
试题分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,由抛物线的对称性可知OF=AF,则2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根据相似三角形对应边成比例得出=
,即AE=2AF②,①与②联立组成二元一次方程组,解出AE=2,AF=1,进而得到点A的坐标;
(2)先由抛物线过原点(0,0),设此抛物线的解析式为y=ax2+bx,再根据抛物线过原点(0,0)和A点(﹣2,0),求出对称轴为直线x=﹣1,则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2,BC=6.再由OB>OC,可知当△OBC是等腰三角形时,可分两种情况讨论:①当OB=BC时,设B(﹣4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,将A,B两点坐标代入y=ax2+bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式;②当OC=BC时,设C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,将A,C两点坐标代入y=ax2+bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式.
试题解析:(1)如图,过点D作DF⊥x轴于点F.
由题意,可知OF=AF,则2AF+AE=4①.
∵DF∥BE,
∴△ADF∽△ABE,
∴=
,即AE=2AF②,
①与②联立,解得AE=2,AF=1,
∴点A的坐标为(﹣2,0);
(2)∵抛物线过原点(0,0),
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx.
∵抛物线过原点(0,0)和A点(﹣2,0),
∴对称轴为直线x==﹣1,
∵B、C两点关于直线x=﹣1对称,B点横坐标为﹣4,
∴C点横坐标为2,
∴BC=2﹣(﹣4)=6.
∵抛物线开口向上,
∴∠OAB>90°,OB>AB=OC,
∴当△OBC是等腰三角形时,分两种情况讨论:
①当OB=BC时,设B(﹣4,y1),
则16+=36,解得y1=±2
(负值舍去).
将A(﹣2,0),B(﹣4,2)代入y=ax2+bx,
得,解得
.
∴此抛物线的解析式为y=x2+
x;
②当OC=BC时,设C(2,y2),
则4+=36,解得y2=±4
(负值舍去).
将A(﹣2,0),C(2,4)代入y=ax2+bx,
得,解得
.
∴此抛物线的解析式为y=x2+
x.
综上可知,若△OBC是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为y=x2+
x或y=
x2+
x.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E,连接AG.
(1)求证:AG=CG;
(2)求证:AG2=GE·GF.
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【题目】为提高公民社会责任感,保证每个纳税人公平纳税,调节不同阶层贫富差距,营造“纳税光荣”社会氛围,2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》,将个人收所得税的起征点提高至5000元(即全月个人收所得不超过5000元的,免征个人收入所得税):个人收入超过5000元的,其超出部分称为“应纳税所得额”,国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”,该制度的前两级纳税标准如下:
①全月应纳税所得额不超过3000元的,按3%的税率计税;
②全月应纳税所得额超过3000元但不超过12000元的部分,按10%的税率计税.
按照新的《个人收入所得税征收办法》,在2019年某月,如果纳税人甲缴纳个人收入所得税75元,纳税人乙当月收入为9500元,纳税人丙缴纳个人收入所得税110元.
(1)甲当月个人收入所得是多少?
(2)乙当月应缴纳多少个人收入所得税?
(3)丙当月个人收入所得是多少?
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【题目】如图1,和
共顶点
,
和
重合,
为
的平分线,
为
的平分线,
,
.
(1)如图2,若,
,则
(2)如图3,若绕
逆时针旋转,且
,求
.
(3)如图4,若,
绕
逆时针旋转,转速为
/秒,同时
绕
逆时针旋转,转速为
/秒(转到
与
共线时停止运动),且
平分
,以下两个结论:①
为定值;②
为定值,请选择正确的结论,并说明理由.
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【题目】浠水县商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
A种型号 | B种型号 | ||
第一周 | 3台 | 4台 | 1200元 |
第二周 | 5台 | 6台 | 1900元 |
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
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【题目】一辆出租车从A地出发,在一条东西走向的街道上往返行驶,每次行驶的路程(记向东为正)记录如下(6<x<14,单位:km):
(1)说出这辆出租车每次行驶的方向;
(2)这辆出租车一共行驶了多少路程?
(3)这辆出租车第四次行驶后距离A地多少千米?在A地的什么方向?
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【题目】在直角坐标系中,直线l:y=x﹣
与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边△A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边△A2A1B2,过点A2作A1B2平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边△A3A2B3,…,则等边△A2017A2018B2018的边长是_____.
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【题目】如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD
其中正确结论的为______(请将所有正确的序号都填上).
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九2x=﹣6章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?”
译文:“假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少?”设有x个人共同买鸡,根据题意列一元一次方程,正确的是( )
A. 9x+11=6x﹣16B. 9x﹣11=6x+16
C. D.
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