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【题目】如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,FAB的中点,DEAB交于点G,EFAC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:

①EFAC四边形ADFE为菱形;③AD=4AG④FH=BD

其中正确结论的为______(请将所有正确的序号都填上).

【答案】①③④

【解析】试题分析:根据已知先判断△ABC≌△EFA,则∠AEF=∠BAC,得出EF⊥AC,由等边三角形的性质得出∠BDF=30°,从而证得△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形,根据平行四边形的性质得出AD=4AG,从而得到答案.

解:∵△ACE是等边三角形,

∴∠EAC=60°AE=AC

∵∠BAC=30°

∴∠FAE=∠ACB=90°AB=2BC

∵FAB的中点,

∴AB=2AF

∴BC=AF

∴△ABC≌△EFA

∴FE=AB

∴∠AEF=∠BAC=30°

∴EF⊥AC,故正确,

∵EF⊥AC∠ACB=90°

∴HF∥BC

∵FAB的中点,

∴HF=BC

∵BC=ABAB=BD

∴HF=BD,故说法正确;

∵AD=BDBF=AF

∴∠DFB=90°∠BDF=30°

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°

∴∠DFB=∠EAF

∵EF⊥AC

∴∠AEF=30°

∴∠BDF=∠AEF

∴△DBF≌△EFAAAS),

∴AE=DF

∵FE=AB

四边形ADFE为平行四边形,

∵AE≠EF

四边形ADFE不是菱形;

说法不正确;

∴AG=AF

∴AG=AB

∵AD=AB

AD=4AG,故说法正确,

故答案为:①③④

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