Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（　　）

A.6B.2+1C.9D.7

Answer 1

【答案】D

【解析】

设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，根据三角形的中位线求出OP1及半径OE，即可求出P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值＝5+3＝8，由此得到答案.

如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴∠C＝90°，

∵∠OP1B＝90°，

∴OP1∥AC

∵AO＝OB，

∴P1C＝P1B，

∴OP1＝AC＝4，

同理OE=AB=3，

∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=4-3=1，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值＝5+3＝8，

∴PQ长的最大值与最小值的差是7．

故选：D．